Question

觀察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
由上面的規(guī)律：
（1）求2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值；
（2）求2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2+1的個(gè)位數(shù)字．
（3）你能用其它方法求出+++…++的值嗎？

Answer 1

解：（1）由題可知：
原式=（2-1）（2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）=2⁶-1=64-1=63；

（2）原式=（2-1）（2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2+1…）=2²⁰¹²-1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，
∴2ⁿ（n為自然數(shù)）的各位數(shù)字只能為2，4，8，6，且具有周期性．
∴2012÷4=503×4，
∴2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2+1的個(gè)位數(shù)字是6-1=5；

（3）設(shè)S=+++…++，
則2S=1++++…+，
所以，S=1-．
分析：（1）根據(jù)已知（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，得出原式=（2-1）（2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）求出即可；
（2）根據(jù)已知（1）中所求，求出2ⁿ（n為自然數(shù)）的各位數(shù)字只能為2，4，8，6，且具有周期性，進(jìn)而求出答案；
（3）根據(jù)已知得出1-=，=-，=-，進(jìn)而求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律；根據(jù)已知得出數(shù)字變化與不變是解決本題的突破點(diǎn)．