Question

在△ABC中，AB=AC=6，作邊AC的垂直平分線，與AC交于點D，與直線AB交于點E，與直線BC交于點F，若DE=4，則CF=

 

．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質,等腰三角形的性質

專題：

分析：作出圖形，根據線段垂直平分線的定義可得AD=CD=

1

2

AC，利用勾股定理求出AE，再求出BE，過點G作BG⊥AC于G，利用平行線分線段成比例定理求出DG，再求出CG，然后求出△CBG和△CFD相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出DF，再利用勾股定理列式求出CF即可．

解答：解：如圖，∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD=

1

2

AC=3，
由勾股定理得，AE=

AD2+DE2

=

32+42

=5，
∵AB=6，
∴BE=AB-AE=6-5=1，
過點G作BG⊥AC于G，
則DE∥BG，
∴

AE

BE

=

AD

DG

，
即

5

1

=

3

DG

，
解得DG=

3

5

，
所以，CG=CD-DG=3-

3

5

=

12

5

，
∴BG=

AB2-AG2

=

62-(3+ 3 5 )2

=

24

5

，
∵DE∥BG，
∴△CBG∽△CFD，
∴

BG

DF

=

CG

CD

，
即

24 5

DF

=

12 5

3

，
解得DF=6，
在Rt△CDF中，CF=

DF2+CD2

=

62+32

=3

5

．
故答案為：3

5

．

點評：本題考查了線段垂直平分線的性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質，熟記各性質并最后求出DF的長是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．