Question

（2012•沙縣質檢）如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點D，交AB于點M，有下面3個結論：
①射線BD是∠ABC的角平分線；②△BCD是等腰三角形；③△AMD≌△BCD．
（1）判斷其中正確的結論是哪幾個？
（2）從你認為是正確的結論中選一個加以證明．

Answer 1

分析：（1）正確的結論是①和②；
（2）若選擇①，根據MN為線段AB的中垂線，利用線段垂直平分線定理得到DA=DB，再根據等邊對等角可得∠A=∠ABD，由等腰三角形ABC及頂角的度數求出底角的度數，利用∠DBC=∠ABC-∠ABD求出∠DBC的度數，進而得到∠ABD=∠DBC，即BD為角平分線；
若選擇②，由①求出的∠C和∠DBC的度數，求出∠BDC的度數，發(fā)現∠C=∠BDC，根據等角對等邊可得BD=BC，即三角形BCD為等腰三角形．

解答：解：（1）正確的結論是①、②；

（2）若①正確，理由如下：
∵MN是AB的中垂線，
∴DA=DB，
則∠A=∠ABD=36°，
又等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=72°，∴∠DBC=36°，
則BD是∠ABC的平分線；
若②正確，理由如下：
由①知：∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°，即∠C=∠BDC，
∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形．

點評：此題考查了線段垂直平分線定理，等腰三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，以及三角形的外角性質，要求學生借助圖形，熟練運用定理及性質，利用轉化的思想達到解決問題的目的．