Question

如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．

1.試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你得到的結(jié)論．

2.將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0°，小于或等于360°），如圖②，通過觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．

3.若BC＝DE＝2，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，求AF的值．

 

Answer 1

見解析

解析:解：（1）BG＝AE．

（2）成立．

如圖②，連接AD．

∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．

（3）由（2）知，BG＝AE，故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大．

因?yàn)檎�方形DEFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn)D為圓心，DG為半徑的圓，故當(dāng)正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC的延長線上（即正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)270°）時(shí)，BG最大，如圖③．

若BC＝DE＝2，則AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF ²＝AE ²＋EF ²＝(AD＋DE)²＋EF ²＝(1＋2)²＋2 ²＝13．

∴AF＝．

即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，AF＝．