Question

【題目】問題背景：數學活動課上老師出示問題，如圖1，有邊長為a的正方形紙片一張，三邊長分別為a、b、c的全等直角三角形紙片兩張，且．請你用這三張紙片拼出一個圖案，并將這個圖案的某部分進行旋轉或平移變換之后，提出一個問題（可以添加其他條件，例如可以給出a、b的值等等）．

解決問題：

下面是兩個學習小組拼出圖案后提出的問題，請你解決他們提出的問題．

（1）“愛心”小組提出的問題是：如圖2，將△DFC繞點F逆時針旋轉，使點D恰好落在AD邊上的點D′處，猜想此時四邊形AEFD′是什么特殊四邊形，并加以證明；

（2）“希望”小組提出的問題是：如圖3，點M為BE中點，將△DCF向左平移至DF恰好過點M時停止，且補充條件a=6，b=2，求△DCF平移的距離．

自主創(chuàng)新：

（3）請你仿照上述小組的同學，在下面圖4的空白處用實線畫出你拼出的圖案，用虛線畫出變換圖，并在橫線處寫出你提出的問題．（不必解答）

你提出的問題：________．

Answer 1

【答案】.

【解析】

模仿（1）和（2）提出：當a=6，b=2時，點M，N分別為AD，BC中點，將△MNF沿CB方向移動，使點M落在點A處時，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面積．

（1）證明：作FG⊥AD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，

∴四邊形GFCD是矩形，

∴GD=FC=b，

∴FD=FD′，

∴D′G=DG=b，

∴AD′=AD﹣2DG=a﹣2b，

∵BE=FC=b，

∴EF=BC﹣2FC=a﹣2b，

∴AD′=EF，

∵AD′∥EF，

∴四邊形AEFD′是平行四邊形

（2）解：由平移知，∠C′D′F′=∠CDF=∠EBC，

∵∠C′D′F′+∠BF′M=90°，

∴∠MBF′+∠BF′M=90°，

∴∠BMF′=90°，

由勾股定理得，BE==2，

∵點M為BE中點，

∴BM=，

∵∠BMF′=∠BCE，∠MBF′=∠CBE，

∴△BMF′∽△BCE，

∴ ，

∴，

∴BF′=，

∵BF=BC+CF=8，

∴F′F=BF﹣BF′=，

∴△DCF平移得距離為；

（3）提出的問題：

當a=6，b=2時，點M，N分別為AD，BC中點，將△MNF沿CB方向移動，使點M落在點A處時，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面積．

如圖，

∵MN=BC=b=6，NF=BF′=a=2，

∴FC=BE=F′N=1，

∴EF′=1，

∴EH=F′H=EF′=，

∵GH∥AB，

∴

∴ ，

∴GH= ，

∴S△GEF′=×EF′×GH=.