Question

【題目】如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經(jīng)過A、B、D三點．過點B作BE∥AD，交⊙O于點E，連接ED。

（1）求證：ED∥AC
（2）若BD=2CD，設(shè)△EBD的面積為S1 ， △ADC的面積為S2 ， 且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面積

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠DAC，∵∠E=∠BAD，∴∠E=∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E=∠EDA，∴∠EDA=∠DAC，∴ED∥AC

（2）

解：∵BE∥AD，∴∠EBD=∠ADC，∵∠E=∠DAC，∴△EBD∽△ADC，且相似比k==2，∴=k2=4，即s1=4s2，∵﹣16S2+4=0，

∴16﹣16S2+4=0，即=0，∴S2=，∵====3，∴S△ABC=

【解析】（1）由AD是△ABC的角平分線，得到∠BAD=∠DAC，由于∠E=∠BAD，等量代換得到∠E=∠DAC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)果；
（2）由BE∥AD，得到∠EBD=∠ADC，由于∠E=∠DAC，得到△EBD∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得到結(jié)果．
【考點精析】掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．