Question

（1998•山東）如圖，四邊形AOBC是菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=60°．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O開始以每秒a（1≤a＜3）個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OB向右移動(dòng)．設(shè)t（0＜t≤4）秒后，PQ交OC于點(diǎn)R．
（1）當(dāng)a=2，OR=8（2

3

-3)時(shí)，求t的值及經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)的直線的解析式；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，以O(shè)、Q、R為頂點(diǎn)的三角形和以O(shè)、B、C為頂點(diǎn)的三角形能夠相似？當(dāng)a為何值時(shí)，以O(shè)、Q、R為頂點(diǎn)的三角形和以O(shè)、B、C為頂點(diǎn)的三角形不能夠相似？請(qǐng)給出結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）作CD⊥x軸于D，菱形的性質(zhì)得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此時(shí)經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)的直線解析式；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得當(dāng)a=1時(shí)，△ORQ∽△OBC，當(dāng)1＜a＜3時(shí)，以O(shè)、Q、R為頂點(diǎn)的三角形和以O(shè)、B、C為頂點(diǎn)的三角形不能夠相似．

解答：解：（1）作CD⊥x軸于D，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
∴OB=4，
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=2

3

，OC=2CD=4

3

，
當(dāng)時(shí)間是t秒時(shí)，PC=4-t，OQ=2t，
RC=OC-OR=4

3

-8（2

3

-3）=12（2-

3

），
∵PC∥OQ，
∴△PCR∽△QOR，
∴

PC

OQ

=

RC

OR

，
∴

4-t

2t

=

12(2- 3 )

8(2 3 -3)

，
∴解得：t=2（

3

-1），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（2

3

，2

3

），Q（4（

3

-1），0），
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，
把P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

2 3 =2 3 k+b 0=4( 3 -1)k+b

解得：

k=3+2 3 b=-4(3+ 3 )

，
故經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)的直線的解析式是y=（3+2

3

）x-4（3+

3

）；

（2）Ⅰ、當(dāng)a=1時(shí)，以O(shè)、Q、R為頂點(diǎn)的三角形和以O(shè)、B、C為頂點(diǎn)的三角形能夠相似，
理由如下：
∵AP=OQ，AP∥OQ，
∴四邊形AOQP是平行四邊形，
∴PQ∥OA∥BC，
∴當(dāng)0＜t≤4時(shí)，無論t取何值，總有△OQR∽△OBC，
Ⅱ、當(dāng)1＜a＜3時(shí)，以O(shè)、Q、R為頂點(diǎn)的三角形和以O(shè)、B、C為頂點(diǎn)的三角形不能夠相似，
理由如下：當(dāng)1＜a＜3時(shí)，顯然PQ和BC不能平行，
如果以O(shè)、Q、R為頂點(diǎn)的三角形和以O(shè)、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似那么∠ORQ=∠OBC，
又∵△BOC是等腰三角形，
∴△ROQ是等腰三角形，且OR=QR，
∴OR=

1 2

cos30°

=

at

3

，
同理，在等腰三角形RPC中，RC=

4-t

3

，
∵OR+RC=OC，
∴

at

3

+

4-t

3

=4-

3

，
解得：t=

8

a-1

，
∵1＜a＜3，
∴0＜a-1＜2，
∴t=

8

a-1

＞4，
由于已知t≤4，
∴當(dāng)1＜a＜3時(shí)，以O(shè)、Q、R為頂點(diǎn)的三角形和以O(shè)、B、C為頂點(diǎn)的三角形不能夠相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)值以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度很大．