Question

已知：矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-mx+

m

2

+

3

4

=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求m的值；（2）直接寫(xiě)出矩形面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于矩形的對(duì)角線相等，那么△=0，解關(guān)于m的一元二次方程可得m=3或-1，而AC、BD為正數(shù)，易求m=3；
（2）當(dāng)矩形的對(duì)角線固定，矩形的長(zhǎng)寬相等時(shí)，面積最大，先把m=3代入原方程，求出對(duì)角線，再設(shè)邊長(zhǎng)為x，進(jìn)而可得x²=

9

8

，就是面積．

解答：解：（1）由矩形ABCD的對(duì)角線AC=BD得△=0，
所以m2-4(

m

2

+

3

4

)=0，
解得m=3或-1，
而AC、BD為正數(shù)，
∴m=3；       
（2）當(dāng)矩形為正方形時(shí)，面積最大，
把m=3代入原方程，可得x²-3x+

9

4

=0，
解得x=

3

2

，
即AC=BD=

3

2

，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則
2x²=

9

4

，
∴x²=

9

8

，
矩形面積的最大值=

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、根的判別式，解題的關(guān)鍵是知道當(dāng)矩形的對(duì)角線固定，矩形為正方形時(shí)面積最大．