Question

拋物線y=-x²-x+6與x軸交于A、B兩點(diǎn)，直線y=

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x+a與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)∠MON=90°時(shí)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：

分析：將y=-x²-x+6和y=

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x+a聯(lián)立得到方程組，化簡(jiǎn)后得到x₁•x₂=a-6，y₁•y₂=

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（2a²-a-3），根據(jù)△MEO∽△OFN，得到ME•NF=EO•OF即x₁•x₂=y₁•y₂，解答即可．

解答：解：將y=-x²-x+6和y=

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x+a聯(lián)立得到方程組：

-x2-x+6=0 1 2 x+a=0

，
消掉y化簡(jiǎn)得到：
2x²+3x+（2a-12）=0，
所以x₁•x₂=a-6，
消掉x 化簡(jiǎn)得到：
4y²+（3-8a）y+（4a²-2a-6）=0，
所以y₁•y₂=

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（2a²-a-3），
這里要分情況討論：
第一，當(dāng)a＞6時(shí)，x₁•x₂＞0  當(dāng)a＜6時(shí)，x₁•x₂＜0，
第二，當(dāng)a＜-1且a＞

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時(shí)，y₁•y₂＞0  當(dāng)-1＜a＜

3

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時(shí)，y₁•y₂＜0，
根據(jù)以上情況分析：
∵△MEO∽△OFN，
∴ME•NF=EO•OF，
x₁•x₂=y₁•y₂，
可以得出當(dāng)a＜-1或a屬于（

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，6）時(shí)有兩個(gè)解，
即6-a=

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（2a²-a-3），
a=-3或

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．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．