Question

四邊形ABCD的對角線AC、BD的長分別為m、n．
（1）當AC⊥BD時（如圖1），請證明，四邊形ABCD的面積；
（2）當AC、BD所夾的銳角為θ時（如圖2），猜想四邊形ABCD的面積S與m、n、θ的關系，并證明．

Answer 1

（1）證明：如圖1，AC與BD的垂足為O點，
∵AC⊥BD，
∴S_△ABD=AO•BD，S_△CBD=CO•BD，
∴四邊形ABCD的面積=S_△ABD+S_△CBD=AO•BD+CO•BD=BD•（AO+CO）=BD•AC=mn；

（2）解：作AH⊥BD于H點，CP⊥BD于P點，AC與BD交于E點，如圖2，
在RtAEH中，sinθ=，即AH=AE•sinθ，
在RtCPE中，sin∠PEC=，PC=CE•sin∠PEC=CE•sinθ，
∵S_△ABD=AH•BD，S_△CBD=CP•BD，
∴四邊形ABCD的面積S=S_△ABD+S_△CBD=AH•BD+CP•BD=AE•sinθ•BD+CE•sinθ•BD=BD•（AE+CE）•sinθ=BD•AC•sinθ=m•n•sinθ．
分析：（1）根據(jù)三角形面積公式得到S_△ABD=AO•BD，S_△CBD=CO•BD，然后把兩個三角形面積相加即可得到結論；
（2）作AH⊥BD于H點，CP⊥BD于P點，AC與BD交于E點，根據(jù)正弦的定義得到AH=AE•sinθ，PC=CE•sin∠PEC=CE•sinθ，然后再根據(jù)三角形面積公式得到S_△ABD=AH•BD，S_△CBD=CP•BD，再把兩個三角形面積相加即可得到四邊形ABCD的面積S=m•n•sinθ．
點評：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了三角形面積公式．