Question

在正整數(shù)范圍內(nèi)，方程組（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，y≤1000有多少組解？其中（　　）、[]分別表示最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)．

A．3

B．6

C．12

D．24

Answer 1

由題意得，60、90都是y的約數(shù)，
∴y=180k（k取正整數(shù)），
又∵y≤1000，
則k≤5；
①當(dāng)k=1時，y=180，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
∴可得x=120，z=90，
則（x，z）=（120，90），此時有1組解．
②當(dāng)k=2時，y=360，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
沒有符合題意的x和z，此時沒有解．
③當(dāng)k=3時，y=540，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
則（x，z）=（120，90），此時有1組解．
④當(dāng)k=4時，y=720，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，
∴可得x=60，z=90，
又∵[z，x]=360，
∴沒有符合題意的x和z，此時沒有解．
⑤當(dāng)k=5時，y=900，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，
∴可得x=60或120或360，z=90或360，
又∵[z，x]=360，
則（x，z）=（120，90），此時有1組解．
綜上可得共有3組解．
故選A．