Question

如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S_{正方形ABCD}=2+．
其中正確的序號是    （把你認(rèn)為正確的都填上）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∴①說法正確；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②說法正確；
如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAD≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③說法錯誤；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
設(shè)正方形的邊長為a，
在Rt△ADF中，
a²+（a-）²=4，
解得a=，
則a²=2+，
S_{正方形ABCD}=2+，
④說法正確，
故答案為①②④．
點(diǎn)評：本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點(diǎn)麻煩．