如圖,菱形鐵片ABCD的對角線AC,DB相交于點E,數(shù)學公式,AE、DE的長是方程x2-140x+k=0的兩根.
(1)求AD的長;
(2)如果M,N是AC上的兩個動點,分別以M,N為圓心作圓,使⊙M與邊從AB、AD相切,⊙N與邊BC,CD相切,且⊙M與⊙N相外切,設AM=t,⊙M與⊙N面積的和為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)某工廠要利用這種菱形鐵片(單位:mm)加工一批直徑為48mm,60mm,90mm的圓形零件(菱形鐵片上只能加工同一直徑的零件,不計加工過程中的損耗),問加工哪種零件能最充分地利用這種鐵片并說明理由.

解:(1)∵ABCD是菱形
∴AC、DB垂直平分
∵sin∠DAC=

設DE=3a,則AD=5a
Rt△ADE中
∵DE=3a
∴AD=5a
∴AE==4a
又∵AE,DE是方程x2-140x+k=0的兩根,
∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得:4a+3a=140
解得a=20
∴AD=5a=100

(2)過點M作MF⊥AD于F,過點N作NG⊥CD于G
在Rt△AMF中,
sin∠DAC==
∴FM=t
∵CD=AD,∠DCA=∠DAC
在Rt△CGN中,
sin∠DCA==
∴NC=NG
又AC=2AE=2×4×20=160
∵⊙M與⊙N相外切
∴MN=MF+NG=t+NG
∴t+t+NG+NG=160
解得NG=60-t
根據(jù)題意,
S=π( t)2+π(60-t)2
即S=t2-72πt+3600π

(3)設它的半徑為R1,由圖形的軸對稱性知,圓心必在對角線交點E處,則4S△AED=S菱形ABCD
∴4AD•R1=AC•BD
∴R1==48(mm)
對照條件,則加工成直徑為90mm的圓形零件只能加工1個,而加工成直徑為48mm圓形零件可有4個.
如若將這塊料加工成兩個最大圓形零件,并設這時圓半徑為R2,那么由對稱性知,這兩個圓必是△ADB和△DBC的內(nèi)切圓,則2( AD•R2+AB•R2+•BD•R2)=AC•BD,
∴R2==30(mm).
這時正好可加工直徑為60mm的圓形零件2個.
如若加工三個最大圓形零件,這時用料不合理,顯然不可。
若加工成4個最大圓形零件,答案前已得出.
如果加工個數(shù)更多的話,直徑太小,已不合要求.
所以加工直徑為48mm的圓形零件,最能充分利用這塊材料.
分析:(1)由圖可知:AD是Rt△ADE中斜邊長,則求AD根據(jù)sin∠DAC=,可以求出DE的長,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得DE的長度;
(2)分別過點M作MF⊥AD于F,過點N作NG⊥CD于G,在Rt△AMF中,根據(jù)sin∠DAC,可以用t來表示FM,再根據(jù)∠DCA=∠DAC,則sin∠DAC=sin∠DA,則可以用NG來表示NC.又知⊙M與⊙N相外切,則MN=MF+NG.根據(jù)AC=AM+NC+MN,即可求得NG的值,最后用t來表示S;
(3)如果將這塊科加工成一個最大的圓形零件,設它的半徑為R1,由圖形的軸對稱性知,圓心必在對角線交點E處,則可以求得R1的值,則加工成直徑為90mm的圓形零件只能加工1個,而加工成直徑為48mm圓形零件可有4個;如若將這塊料加工成兩個最大圓形零件,并設這時圓半徑為R2,那么由對稱性知,這兩個圓必是△ADB和△DBC的內(nèi)切圓,則R2==30(mm),所以可以加工直徑為60mm的圓形零件2個;所以加工直徑為48mm的圓形零件,最能充分利用這塊材料.
點評:此題主要考查學生對菱形的性質(zhì)及解直角三角形等知識點的理解及運用.
練習冊系列答案
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(2)如果M,N是AC上的兩個動點,分別以M,N為圓心作圓,使⊙M與邊從AB、AD相切,⊙N與邊BC,CD相切,且⊙M與⊙N相外切,設AM=t,⊙M與⊙N面積的和為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)某工廠要利用這種菱形鐵片(單位:mm)加工一批直徑為48mm,60mm,90mm的圓精英家教網(wǎng)形零件(菱形鐵片上只能加工同一直徑的零件,不計加工過程中的損耗),問加工哪種零件能最充分地利用這種鐵片并說明理由.

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