解:(1)∵ABCD是菱形
∴AC、DB垂直平分
∵sin∠DAC=
即
設DE=3a,則AD=5a
Rt△ADE中
∵DE=3a
∴AD=5a
∴AE=
=4a
又∵AE,DE是方程x
2-140x+k=0的兩根,
∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得:4a+3a=140
解得a=20
∴AD=5a=100
(2)過點M作MF⊥AD于F,過點N作NG⊥CD于G
在Rt△AMF中,
sin∠DAC=
=
∴FM=
t
∵CD=AD,∠DCA=∠DAC
在Rt△CGN中,
sin∠DCA=
=
∴NC=
NG
又AC=2AE=2×4×20=160
∵⊙M與⊙N相外切
∴MN=MF+NG=
t+NG
∴t+
t+NG+
NG=160
解得NG=60-
t
根據(jù)題意,
S=π( t)
2+π(60-
t)
2即S=t
2-72πt+3600π
(3)設它的半徑為R
1,由圖形的軸對稱性知,圓心必在對角線交點E處,則4S
△AED=S
菱形ABCD
∴4AD•R
1=AC•BD
∴R
1=
=48(mm)
對照條件,則加工成直徑為90mm的圓形零件只能加工1個,而加工成直徑為48mm圓形零件可有4個.
如若將這塊料加工成兩個最大圓形零件,并設這時圓半徑為R
2,那么由對稱性知,這兩個圓必是△ADB和△DBC的內(nèi)切圓,則2( AD•R
2+AB•R
2+•BD•R
2)=AC•BD,
∴R
2=
=30(mm).
這時正好可加工直徑為60mm的圓形零件2個.
如若加工三個最大圓形零件,這時用料不合理,顯然不可。
若加工成4個最大圓形零件,答案前已得出.
如果加工個數(shù)更多的話,直徑太小,已不合要求.
所以加工直徑為48mm的圓形零件,最能充分利用這塊材料.
分析:(1)由圖可知:AD是Rt△ADE中斜邊長,則求AD根據(jù)sin∠DAC=
,可以求出DE的長,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得DE的長度;
(2)分別過點M作MF⊥AD于F,過點N作NG⊥CD于G,在Rt△AMF中,根據(jù)sin∠DAC,可以用t來表示FM,再根據(jù)∠DCA=∠DAC,則sin∠DAC=sin∠DA,則可以用NG來表示NC.又知⊙M與⊙N相外切,則MN=MF+NG.根據(jù)AC=AM+NC+MN,即可求得NG的值,最后用t來表示S;
(3)如果將這塊科加工成一個最大的圓形零件,設它的半徑為R
1,由圖形的軸對稱性知,圓心必在對角線交點E處,則可以求得R
1的值,則加工成直徑為90mm的圓形零件只能加工1個,而加工成直徑為48mm圓形零件可有4個;如若將這塊料加工成兩個最大圓形零件,并設這時圓半徑為R
2,那么由對稱性知,這兩個圓必是△ADB和△DBC的內(nèi)切圓,則R
2=
=30(mm),所以可以加工直徑為60mm的圓形零件2個;所以加工直徑為48mm的圓形零件,最能充分利用這塊材料.
點評:此題主要考查學生對菱形的性質(zhì)及解直角三角形等知識點的理解及運用.