Question

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=4cm，OC=3cm，D為OA上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D以1cm/s的速度從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．
（1）試寫(xiě)出多邊形ODEBC的面積S（cm²）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)多邊形ODEBC的面積最小時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PDE為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在某一時(shí)刻將△BED沿著B(niǎo)D翻折，使得點(diǎn)E恰好落在BC邊的點(diǎn)F處．求出此時(shí)時(shí)間t的值．若此時(shí)在x軸上存在一點(diǎn)M，在y軸上存在一點(diǎn)N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，試求出此時(shí)點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)OD=t，AD=4-t，AE=t，由S_△DEBC=S_△ABCD-S_△DAE，列出關(guān)于t的函數(shù)，
（2）由（1）的一元二次方程求出最小值，分類(lèi)P在x軸上時(shí)、在y軸上時(shí)求出滿足條件的點(diǎn)，
（3）設(shè)AE=t，則BE=3-t．BF=BE=3-tAD=4-t，求出CF，然后求出t，解得M、N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)OD=t，AD=4-t，AE=t，
S_△ODEBC=S_△ABCD-S_△DAE
=4×3-

1

2

AD•AE
=12-

1

2

(4-t)t
=

1

2

t2-2t+12（0≤t≤3）

（2）∵S=

1

2

t2-2t+12
∴-

b

2a

=

-2

1

=2
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最小值；
此時(shí)：D（2，0）、E（4，2），
①當(dāng)P在x軸上時(shí)，設(shè)P（a，0），
此時(shí)：DE²=AD²+EA²=2²+2²=8，
EP²=（a-4）²+2²=a²-8a+20，
DP²=（a-2）²=a²-4a+4，
∴當(dāng)DE²=EP²時(shí)，8=a²-8a+20，
∴a²-8a+12=0，
（a-2）（a-6）=0，
∴P（2，0），P₁（6，0），
∵P（2，0）與D重合
∴舍去，
當(dāng)EP²=DP²時(shí)，a²-8a+20=a²-4a+4，
16=4a，
a=4，
∴P₂（4，0），
當(dāng)DE²=DP²時(shí)，8=a²-4a+4a²-4a-4=0
a=

4±4 2

2

=2±2

2

，
∴P3(2+2

2

，0)P4(2-2

2

，0)，
②當(dāng)P在y軸上時(shí)，設(shè)P（0，b），
則DP²=2²+b²=b²+4EP²=4²+（b-2）²=16+b²-4b+4=b²-4b+20
DE²=8，
∴當(dāng)DP²=EP²時(shí)，b²+4=b²-4b+20
4b=16，
b=4，
∴P₅（0，4），
當(dāng)EP²=DE²時(shí)，b²-4b+20=8b²-4b+12=0b²-4ac＜0，
∴無(wú)解．
當(dāng)DP²=DE²時(shí)，b²+4=8，
b²=4，
∴b=±2，
∴P₆（0，-2）（DEP三點(diǎn)共線，舍去），
∴綜上共有6個(gè)這樣的P點(diǎn)，
使得△PDE為等腰三角形．
即P₁（6，0），P₂（4，0），P3(2+2

2

，0)，P4(2-2

2

，0)，P₅（0，4），P₆（0，2）．

（3）設(shè)AE=t，則BE=3-t．BF=BE=3-t，AD=4-t，
∴CF=4-BF=t+1，
過(guò)D作DP⊥BC于P．
則：CP=OD=t，
∴PF=1，
又DP=3，
∴DF=

10

，
∴DE=DF=

10

，
∴在Rt△DAE中，AD²+AE²=DE²，
∴（4-t）²+t²=10，
∴t²-8t+16+t²=10，
2t²-8t+6=0，
t²-4t+3=0，
∴t₁=1，t₂=3（舍），
∴t=1（9分），
∴E（4，1），F(xiàn)（2，3），
∵E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′（4，-1），F(xiàn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（-2，3），
則E′F′與x軸，y軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，N點(diǎn)．
設(shè)直線E′F′的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

4k+b=-1 -2k+b=3

，
∴

k=- 2 3 b= 5 3

，
∴y=-

2

3

x+

5

3

．（10分）
∴M（

5

2

，0），N（0，

5

3

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)求最大（�。┲档姆椒�，綜合面積的計(jì)算、勾股定理等內(nèi)容，滲透分類(lèi)討論思想，綜合性很強(qiáng)．