Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2，當(dāng)BP=________時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最�。�

Answer 1

4
分析：要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時(shí)AP+EQ=EG最小，然后過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長(zhǎng)度．
解答：解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°．
設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4．
故答案為4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道難度較大的題目，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求．