Question

如圖，有4個動點P、Q、E、F分別從正方形ABCD的4個頂點出發(fā)，沿著AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點移動．
（1）判定四邊形PQEF的形狀；
（2）PE是否總是經過某一定點，井說明理由；
（3）四邊形PQEF的頂點位于何處時，其面積最小、最大？各是多少？

Answer 1

分析：（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形，故可根據正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形．（2）證PE是否過定點時，可連接AC，證明四邊形APCE為平行四邊形，即可證明PE過定點．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．
∵∠FPQ=90°，
∴四邊形PQEF為正方形；

（2）連接PE，連接AC交PE于O，
∵AP平行且等于EC，
∴四邊形APCE為平行四邊形．
又∵O為對角線AC的中點，
∴對角線PE總過AC的中點；


（3）正方形ABCD與正方形PQEF的對角線交點是重合的，
當OP⊥AB時，四邊形PQEF面積最小，為原正方形面積的一半，
當P與頂點B重合時，面積最大，其最大面積等于正方形ABCD的面積．

點評：在證明過程中，應了解正方形和平行四邊形的判定定理，為使問題簡單化，在證明過程中，可適當加入輔助線．