Question

正整數(shù)n≤600，具有如下性質(zhì)：從1，2，…，600中任取一個(gè)數(shù)m，m能整除n的概率為

1

100

，則n的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除性

專題：

分析：因?yàn)閙能整除n的概率為

1

100

，說明這個(gè)數(shù)n一共分解質(zhì)因數(shù)有6個(gè)因數(shù)，因?yàn)?=2×3=1×6，說明這個(gè)n分解質(zhì)因數(shù)后含有相同的質(zhì)因數(shù)5個(gè)或含有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，其中一個(gè)質(zhì)因數(shù)1個(gè)，另一個(gè)質(zhì)因數(shù)有2個(gè)，由此探討得出答案即可．

解答：解：∵m能整除n的概率為

1

100

，
∴n分解質(zhì)因數(shù)后含有相同的質(zhì)因數(shù)5個(gè)或含有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，其中一個(gè)質(zhì)因數(shù)1個(gè)，另一個(gè)質(zhì)因數(shù)有2個(gè)，
當(dāng)含有相同的質(zhì)因數(shù)5個(gè)，3⁵=243，5⁵=3125，所以最大是243，
當(dāng)含有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，其中一個(gè)質(zhì)因數(shù)1個(gè)，另一個(gè)質(zhì)因數(shù)有2個(gè)，
首先考慮1個(gè)最小的質(zhì)因數(shù)是2，2個(gè)相同的質(zhì)因數(shù)（設(shè)為p）2×p²≤600，p最大為17，這是n的值為578；
再考慮2個(gè)最小的質(zhì)因數(shù)是2，另一個(gè)質(zhì)因數(shù)（設(shè)為q）q×2²≤600，q最大為149，這是n的值為596；
綜上所知，n的最大值為596．
故答案為：596．

點(diǎn)評(píng)：此題考查數(shù)的整除的性質(zhì)，注意求掌握一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法，如果一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)為w=a^xb^yc^z，則所含因數(shù)的個(gè)數(shù)為（x+1）（y+1）（z+1）；以及1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．