Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

3

4

x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，現(xiàn)有半徑為1的動(dòng)圓位于原點(diǎn)處，以每秒1個(gè)單位的速度向右作平移運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)幾秒，動(dòng)圓與直線AB相切．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：如圖，當(dāng)圓心點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，連接PC；首先求出AB的長(zhǎng)；然后證明△APC∽△ABO，得到

AP

AB

=

PC

OB

，求出PA的值，即可解決問(wèn)題；當(dāng)圓心點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，同理可求出OP的值，即可解決問(wèn)題．

解答：解：如圖，當(dāng)⊙O的圓心運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P處時(shí)，⊙P與直線AB相切；
連接PC，則PC⊥AB；對(duì)于直線y=

3

4

x-3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3；當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴OA=4，OB=3；由勾股定理得：AB=

32+42

=5；
∵∠AOB=∠ACP=90°，∠PCA=∠BOA，
∴△APC∽△ABO，
∴

AP

AB

=

PC

OB

，
解得：PA=

5

3

，OP=4-

5

3

=

7

3

，
∴經(jīng)過(guò)

7

3

秒，動(dòng)圓與直線AB相切．
當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，同理可求：
PA=

4

3

，PO=4+

4

3

=

16

3

，
∴經(jīng)過(guò)

16

3

秒，動(dòng)圓與直線AB相切．
綜上所述，經(jīng)過(guò)

7

3

或

16

3

秒，動(dòng)圓與直線AB相切．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答．