【題目】如圖,ABC的內(nèi)接三角形,P為BC延長線上一點,PAC=B,AD為O的直徑,過C作CGAD于E,交AB于F,交O于G。

(1)判斷直線PA與O的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)求證:AG2=AF·AB;

(3)若O的直徑為10,AC=2,AB=4,求AFG的面積.

【答案】(1)PA與O相切,理由見解析;(2)證明見解析;(3)3.

【解析】

試題分析:(1)連接CD,由AD為O的直徑,可得ACD=90°,由圓周角定理,證得B=D,由已知PAC=B,可證得DAPA,繼而可證得PA與O相切.

(2)連接BG,易證得AFG∽△AGB,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,證得結(jié)論.

(3)連接BD,由AG2=AFAB,可求得AF的長,易證得AEF∽△ABD,即可求得AE的長,繼而可求得EF與EG的長,則可求得答案.

試題解析:解:(1)PA與O相切.理由如下:

如答圖1,連接CD,

AD為O的直徑,∴∠ACD=90°.

∴∠D+CAD=90°.

∵∠B=D,PAC=B,∴∠PAC=D.

∴∠PAC+CAD=90°,即DAPA.

點A在圓上,

PA與O相切.

(2)證明:如答圖2,連接BG,

AD為O的直徑,CGAD,.∴∠AGF=ABG.

∵∠GAF=BAG,∴△AGF∽△ABG.

AG:AB=AF:AG. AG2=AFAB.

(3)如答圖3,連接BD,

AD是直徑,∴∠ABD=90°.

AG2=AFAB,AG=AC=2,AB=4AF=.

CGAD,∴∠AEF=ABD=90°.

∵∠EAF=BAD,∴△AEF∽△ABD. ,即,解得:AE=2.

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