Question

（2010•長(zhǎng)沙）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)、設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；
（3）當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)B、P兩點(diǎn)，過(guò)線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于N，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度，可用t表示出CQ、OP的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)OC的長(zhǎng)求出OQ的表達(dá)式，即可由三角形的面積公式得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）四邊形OPBQ的面積，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面積差求得，進(jìn)而可得到所求的定值；
（3）若△OPQ與△PAB和△QPB相似，那么△QPB必為直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以這三個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出t的值，進(jìn)而可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出拋物線和直線BP的解析式；可設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)直線BP和拋物線的解析式，求出M、N的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得到關(guān)于MN的長(zhǎng)與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值及對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)BQ與直線MN的交點(diǎn)為H，根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)和直線BQ的解析式即可求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，也就能得到MH的長(zhǎng)，以MH為底，B、M橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，可求出△BHM的面積，進(jìn)而可根據(jù)四邊形OPBQ的面積求出五邊形OPMHQ的面積，由此可求出它們的比例關(guān)系式．
解答：（1）解：∵CQ=t，OP=t，CO=8，
∴OQ=8-t．
∴S_△OPQ=（0＜t＜8）；（3分）

（2）證明：∵S_{四邊形OPBQ}=S_矩形ABCO-S_△CBQ-S_△PAB
==32；（5分）
∴四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于32；（6分）

（3）解：當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，△QPB必須是一個(gè)直角三角形，依題意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ與AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ，
∴根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分），
∴=，
∴，
解得：t₁=4，t₂=8
經(jīng)檢驗(yàn)：t=4是方程的解且符合題意，t=8不是方程的解，舍去；（從邊長(zhǎng)關(guān)系和速度考慮），
∴QO=4，
∴直線QB的解析式為：y=x+4，
此時(shí)P（，0）；
∵B（，8）且拋物線經(jīng)過(guò)B、P兩點(diǎn)，
∴拋物線是，直線BP是：（8分）．
設(shè)M（m，）、N（m，）．
∵M(jìn)在BP上運(yùn)動(dòng)，
∴
∵與交于P、B兩點(diǎn)且拋物線的頂點(diǎn)是P；
∴當(dāng)時(shí)，y₁＜y₂（9分）
∴MN=|y₁-y₂|
=|m²-2m+8-（m-8）|
=m-8-（m²-2m+8）
=m-8-m²+2m-8
=-m²+3m-16
=，
∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值是2；
∴設(shè)MN與BQ交于H點(diǎn)則，；
∴S_△BHM==
∴S_△BHM：S_{五邊形QOPMH}==3：29
∴當(dāng)MN取最大值時(shí)兩部分面積之比是3：29．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．