Question

（1）已知：如圖1，在四邊形ABCD中，E是AD上一點，EC∥AB，EB∥CD，若S_△DEC=1，S_△ABE=3，則S_△BCE=

 

；若S_△DEC=S₁，S_△ABE=S₂，S_△BCE=S，請直接寫出S與S₁、S₂間的關系式：

 

；
（2）如圖2，△ABC、△DCE、△GEF都是等邊三角形，且A、D、G在同一直線上，B、C、E、F也在同一直線上，S_△ABC=4，S_△DCE=9，試利用（1）中的結論得△GEF的面積為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質可得，∠A=∠CED，∠AEB=∠D，則△ABE∽△ECD；作AF⊥BE垂足為F，CG⊥BE垂足為G，根據已知得AF：CG=3：2，再由相似三角形的面積之比等于相似比的平方，得出答案即可．
（2）利用等邊三角形的性質易得AB∥DC∥GE，AC∥DE∥GF，由此根據（1）中的結論可得到S_△ACD²=S_△ABC•S_△ECD①，S_△DCE²=S_△ACD•S_△DEG②，S_△EGD²=S_△DCE•S_△GEF③，然后把S_△ABC=4，S_△DCE=9代入依次進行計算即可求出△GEF的面積．

解答：解：（1）∵EC∥AB，
∴∠A=∠CED，
又∵EB∥CD，
∴∠AEB=∠D，
∴△ABE∽△ECD，
∴S_△ABE：S_△ECD=BE²：CD²=3：1，
∴BE：CD=

3

：1，
又∵CD∥BE，
∴S_△BCE：S_△DEC=BE：CD=

3

，
∴S_△BCE=

3

S_△DEC=

3

；
同上面的求法一樣可得到：S²=S₁•S₂；

（2）∵△ABC、△DCE、△GEF都是等邊三角形，
∴AB∥DC∥GE，AC∥DE∥GF，
由（1）結論得到：S_△ACD²=S_△ABC•S_△ECD①，S_△DCE²=S_△ACD•S_△DEG②，S_△EGD²=S_△DCE•S_△GEF③，
而S_△ABC=4，S_△DCE=9，
由①得S_△ACD²=4×9=36，
∴S_△ACD=6，
由②得，9²=6×S_△DEG，
∴S_△DEG=

27

2

，
由③得，（

27

2

）²=9S_△GEF，
∴S_△GEF=

81

4

．
故答案為

3

，S²=S₁•S₂；

81

4

．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了三角形的面積公式，特別是等高的兩三角形面積的比等于底邊的比．