Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，中位線EF與對角線AC、BD相交于N、M，設(shè)梯形ABCD的周長為a，四邊形AMND的周長為b，則a與b的數(shù)量關(guān)系式為

 

．

Answer 1

考點：梯形中位線定理

專題：探究型

分析：取BC的中點G，連接MG，如圖，MG為△BCD的中位線，則MG∥CD，再證明四邊形AGCD為平行四邊形，得到AG∥CD，AG=CD，且點A、M、G共線，所以AM=

1

2

CD，同理可得DN=

1

2

AB，然后根據(jù)梯形的中位線定理得EN=

1

2

BC，EM=

1

2

AD，則MN=EN-EM=

1

2

（BC-AD）=

1

2

AD，再表示兩個四邊形的周長得到a=AB+CD+AD+BC=2AN+2CD+AD+2AD=2AN+2AM+3AD，b=MN+AD+AM+AN=AN+AM+

3

2

AD，于是得到a=2b．

解答：解：取BC的中點G，連接MG，如圖，
∵M點為BD的中點，
∴MG∥CD，
∵BC=2CG=2AD，
∴AD=CG，AD∥CG，
∴四邊形AGCD為平行四邊形，
∴AG∥CD，AG=CD，
∴點A、M、G共線，
∴AM=

1

2

CD，
同理可得DN=

1

2

AB，
∵EF為梯形ABCD的中位線，
∴EN=

1

2

BC，EM=

1

2

AD，
∴MN=EN-EM=

1

2

（BC-AD）=

1

2

AD，
∴a=AB+CD+AD+BC=2AN+2CD+AD+2AD=2AN+2AM+3AD，
b=MN+AD+AM+AN=AN+AM+

3

2

AD，
∴a=2b．
故答案為a=2b．

點評：本題考查了梯形的中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線；梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．