Question

（2009•揚(yáng)州模擬）四個(gè)頂點(diǎn)都在正方形邊上的四邊形叫做正方形的內(nèi)接四邊形，如圖1，正方形EFGH就是正方形ABCD的內(nèi)接正方形，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出面積最小的正方形ABCD的內(nèi)接正方形E₁F₁G₁H₁（要求用文字標(biāo)明取點(diǎn)方法）；
（2）如圖2，四邊形E₂F₂G₂H₂是正方形ABCD的內(nèi)接平行四邊形，AE₂=x，AH₂=y，請(qǐng)?zhí)接?br />①當(dāng)x、y滿足什么條件時(shí)，四邊形E₂F₂G₂H₂是矩形；（要求寫出過程）
②用x的代數(shù)式表示矩形E₂F₂G₂H₂的面積S，并寫出S的取值范圍．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】分析：（1）分別取順次連接正方形ABCD四邊中點(diǎn)即可．
（2）首先證明△AE₂H₂≌△CG₂F₂推出CF₂=AH₂=y，然后證明△AE₂H₂∽△BF₂E₂，利用線段比求出，當(dāng)四邊形E₂F₂G₂H₂是矩形時(shí)，x，y滿足的條件．分x=y，x+y=a兩種情況考慮，得出S的取值范圍．
解答：解：（1）分別取正方形ABCD四邊中點(diǎn)，順次連接（2分）（注：本題畫圖2分）
（2）①證明：△AE₂H₂≌△CG₂F₂，得CF₂=AH₂=y；（3分）
△AE₂H₂∽△BF₂E₂，得=，
即=，（2分）
化簡(jiǎn)得：（x-y）（x+y-a）=0，
∴x=y或x+y=a，（2分）
∴當(dāng)x、y滿足x=y或x+y=a時(shí)，四邊形E₂F₂G₂H₂是矩形；（1分）
②當(dāng)x=y時(shí)，S=-2x²+2ax（0＜S≤）．（2分）
當(dāng)x+y=a時(shí)，S=2x²-2ax+a²（≤S≤a²）．（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定以及全等三角形的判定的有關(guān)知識(shí)．