Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（﹣3，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)C，D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B，D，交y軸為E．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)出拋物線的交點(diǎn)式，再根據(jù)拋物線過點(diǎn)C，可以求得該拋物線的解析式；

（2）根據(jù)（1）中的拋物線的解析式可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可以求得直線BD的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形相似，即可求得 的值．

（1）設(shè)該函數(shù)的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1）

則3＝a（0+3）（0﹣1），

解得，a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，

即二次函數(shù)的解析式；是y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝﹣1，

∵點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)C，D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點(diǎn)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，3），

設(shè)過點(diǎn)B（1，0）、點(diǎn)D（﹣2，3）的直線的函數(shù)解析式為y＝kx+b，

，得 ，

即直線BD的解析式為y＝﹣x+1，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣0+1＝0，

即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），

作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∵DF⊥AB，EO⊥AB于點(diǎn)O，

∴△BEO∽△BDF，

∴=，

∵點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)F（﹣2，0），

∴BO＝1，BF＝3，

∴= ，

∴＝．