Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F分別是AB邊和AC邊上的動點(diǎn)，且∠EDF=90°．

（1）求DE：DF的值；
（2）連結(jié)EF，設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)E間的距離為x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠B=∠DAC
又∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴，
∵tanB=，
∴DE：DF=；                

（2）由△BED∽△AFD，得，
∴AF=BE=x，
∵BE=x，
∴AE=3-x，
∵∠BAC=90°，
∴EF²=（3-x）²+（x）²=x²-6x+9，
∵DE：DF=3：4，∠EDF=90°，
∴ED=EF，F(xiàn)D=EF，
∴y=ED•FD=EF²，
∴y=x²-x+（0≤x≤3）．              

分析：（1）由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，易證得△BED∽△AFD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案；
（2）由勾股定理易得EF²=（3-x）²+（x）²=x²-6x+9，又由DE：DF=3：4，∠EDF=90°，即可求得答案．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．