Question

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c．若a，b，c均為整數(shù)，且c=

1

3

ab-（a+b），求滿足條件的直角三角形的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：先根據(jù)此三角形是直角三角形，利用勾股定理把原式化為（a-6）（b-6）=18，再根據(jù)a，b均為正整數(shù)，不妨設(shè)a＜b，可得出關(guān)于a、b的二元一次方程，求出a、b、c的對(duì)應(yīng)值即可．

解答：解：由勾股定理得，c²=a²+b²．
又∵c=

1

3

ab-（a+b），得c2=[

1

3

ab-(a+b)]2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+(a+b)2．
即a2+b2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+a2+2ab+b2．
整理得，ab-6（a+b）+18=0，即（a-6）（b-6）=18，
∵a，b均為正整數(shù)，不妨設(shè)a＜b，
可得

a-6=1  b-6=18

或

a-6=2  b-6=9

或

a-6=3  b-6=6

，
可解出

a=7  b=24  c=25

或

a=8  b=15  c=17

或

a=9  b=12  c=15 .

，
∴滿足條件的直角三角形有3個(gè)．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是非一次不定方程及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是先利用勾股定理把原式化為兩個(gè)因式積的形式，再根據(jù)a，b均為正整數(shù)進(jìn)行解答．