Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-mx+

m2+1

2

與y=x²-mx-

m2+2

2

，這兩個(gè)二次函數(shù)的圖象中的一條與x軸交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)；
（2）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），試求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，對(duì)于經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的判別式，可以判斷函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)情況；
（2）把A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）代入函數(shù)解析式，求出m的值，令y=0，求出一元二次方程的解即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷其增減性；

解答：解：（1）對(duì)于關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-mx+

m2+1

2

，
由于△=（-m）²-4×1×

m2+1

2

=-m²-2＜0，
所以此函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；
對(duì)于關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-mx-

m2+2

2

，
由于△=（-m）²-4×1×（-

m2+2

2

）=3m²+4＞0
所以此函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
故圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的二次函數(shù)為y=x²-mx-

m2+2

2

；
（2）將A（-1，0）代入y=x²-mx-

m2+2

2

，得1+m-

m2+2

2

=0．
整理，得-m²+2m=0．
解之，得m=0，或m=2．
當(dāng)m=0時(shí)，y=x²-1．
令y=0，得x²-1=0．
解這個(gè)方程，得x₁=-1，x₂=1，
此時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是B（1，0）；
當(dāng)m=2時(shí)，y=x²-2x-3．
令y=0，得x²-2x-3=0．
解這個(gè)方程，得x₁=-1，x₂=3，
此時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是B（3，0）．
（3）當(dāng)m=0時(shí)，二次函數(shù)為y=x²-1，此函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=0，
所以當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減�。�
當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=x²-2x-3=（x-1）²-4，此函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，
對(duì)稱軸為直線x=1，所以當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的與x軸交點(diǎn)的求法，以及二次函數(shù)的增減性．