Question

如圖：已知反比例C₁：；C₂：，且k₁＞k₂＞0，點(diǎn)P是雙曲線C₁上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)引x、y軸的平行線交雙曲線C₂于A、B兩點(diǎn)，連接AB．
（1）當(dāng)取k₁=4，k₂=1，
①點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）時(shí)，則S_三角形ABP=______；
②點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，4）時(shí)，S_三角形ABP=______．
（2）通過觀察、思考（1）的計(jì)算結(jié)果，你能猜想到△ABP的面積有何規(guī)律或特征？并請(qǐng)你用含k₁、k₂的代數(shù)式表示△ABP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AP∥x軸，BP∥y軸，得到AP⊥PB，從而知道，點(diǎn)B、點(diǎn)P橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)A、點(diǎn)P縱坐標(biāo)相同，求出A點(diǎn)橫坐標(biāo)x_A，B點(diǎn)縱坐標(biāo)y_B，再利用P點(diǎn)坐標(biāo)，求出AP、BP的長(zhǎng)，從而得到三角形的面積．
（2）根據(jù)AP∥x軸，BP∥y軸，得到AP⊥PB，從而知道，點(diǎn)B、點(diǎn)P橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)A、點(diǎn)P縱坐標(biāo)相同，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為，代入解析式求出A（，），B（a，），從而求出AP和BP的長(zhǎng)，表示出S_三角形ABP．
解答：解：（1）當(dāng)取k₁=4，k₂=1時(shí)，反比例C₁：；C₂：可化為C₁：y=，C₂：y=；
∵AP∥x軸，BP∥y軸，
∴AP⊥PB，
∴點(diǎn)B、點(diǎn)P橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)A、點(diǎn)P縱坐標(biāo)相同，
①點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）時(shí)，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x_A，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，y_B），
把A點(diǎn)坐標(biāo)（x_A，2）代入y=得，x_A=；
把B點(diǎn)坐標(biāo)（2，y_B）代入y=得，y_B=，
∴S_三角形ABP=×AP×BP
=×（2-）×（2-）
=，
②點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，4）時(shí)，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x_A，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y_B），
把A點(diǎn)坐標(biāo)（x_A，4）代入y=得，x_A=；
把B點(diǎn)坐標(biāo)（1，y_B）代入y=得，y_B=1，
∴S_三角形ABP=×AP×BP
=×（1-）×（4-1）
=．
故答案為案為，．

（2）不論點(diǎn)P在雙曲線C₁上的任意處，△ABP的面積等于一個(gè)定值．
∵PA∥x軸，PB∥y軸，
∴∠APB=90°，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為，
又∵A與P的縱坐標(biāo)相同，
∴，，
∴A（，），
∵B與P的橫坐標(biāo)相同，
∴，
∴B（a，）．
AP=a-==，PB=-=．
∴×=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積與坐標(biāo)的關(guān)系，是一道好題．