Question

如圖，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）上，點(diǎn)C在x軸的正半軸上且坐標(biāo)為（4，0），△ODC是以CO為斜邊的等腰直角三角形．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)B為橫坐標(biāo)為1的反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，BA、BE分別垂直x軸和y軸，連接OB，將OABE沿OB折疊，使A點(diǎn)落在點(diǎn)A′處，A′B與y軸交于點(diǎn)F，求OF的長(zhǎng)；

（3）直線y=-x+3交x軸于M點(diǎn)，交y軸于N點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線y=

k

x

（k＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥x軸于Q點(diǎn)，PR⊥y軸于R點(diǎn)，PQ，PR與直線MN交于H，G兩點(diǎn)．給出下列兩個(gè)結(jié)論：①△PGH的面積不變；②MG•NH的值不變，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你選擇并證明求值．

Answer 1

分析：（1）由于三角形OCD是等腰直角三角形，不難得出D（2，2），將其代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

k

x

（k＞0）中即可求出k的值；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)不難得出△EBF≌△A'OF，那么A′F=OE-OF，可先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出OE，OA′的長(zhǎng)，如果設(shè)OF=x，那么A′F=OE-x，可在直角三角形A′OF中，用勾股定理求出x即OF的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)直線MN的解析式可知：三角形MON是等腰直角三角形，那么∠NMO=45°，如果過G作x軸的垂線，不難得出MG=

2

OP，同理可得出NH=

2

PR，因此MG•NH=2OP•PR，而OP•PR=k（k的值在（1）題已經(jīng)求出），因此MG•NH的值是不變的．

解答：解：（1）由題可知：D（2，2），
因?yàn)辄c(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）上，
所以k=4，
∴y=

4

x

（2）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），可知△EBF≌△A'OF，
設(shè)OF=x，則EF=A'F=4-x，
在直角三角形A′OF中，A′F²+A′O²=OF²，
∴（4-x）²+1=x²
解得：x=

17

8

；

（3）MG•NH的值不變，且值為8．
由y=-x+3得：OM=ON
∴∠OMN=∠ONM=45°
∴MG=

2

PQ，NH=

2

PR
∴MG•NH=2PQ•PR=8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．利用數(shù)形結(jié)合解決此類問題，是非常有效的方法．