Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿B→C→A→B的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿C→A→B方向的運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即原速返回，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇后同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=　    　時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；

（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)ι為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？

（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△PCQ的面積為s平方單位．

①求s與ι之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)s最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，求折疊后的

△APD與△PCQ重疊部分的面積．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）7。

（2）點(diǎn)P從B到C的時(shí)間是3秒，此時(shí)點(diǎn)Q在AB上，則

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CA上，若△PCQ為等腰三角形，則一定為等腰直角三角形，有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1。

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在AB上，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC（如圖1），則點(diǎn)Q在PC的中垂線上。

作QH⊥AC，則QH=PC，△AQH∽△ABC，

在Rt△AQH中，AQ=2t﹣4，

則。

∵PC=BC﹣BP=3﹣t，

∴，解得：。

綜上所述，在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t=1或時(shí)，△PCQ為等腰三角形。

 （3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，P一定在AC上，

則PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即。

同（2）可得：△PCQ中，PC邊上的高是：，

∴。

∴當(dāng)t=5時(shí)，s有最大值，此時(shí)，P是AC的中點(diǎn)（如圖2）。

∵沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，

∴PD一定是AC的中垂線。

∴AP=CP=AC=2，PD=BC=。

∴AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4。

如圖2，連接DC（即AD的折疊線）交PQ于點(diǎn)O，過(guò)Q作QE⊥CA于點(diǎn)E，過(guò)O作OF⊥CA于點(diǎn)F，則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。

則QE=AQ=×4=，EA=AQ=×4=。

∴EP=，CE=。

設(shè)FP=x，F(xiàn)O=y，則CF=。

由△CFO∽△CPD得，即，∴。

由△PFO∽△PEQ得，即，∴。解得：。

∴△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。

【解析】

試題分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)度，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇一定是在P由B到A的過(guò)程中，利用方程即可求得：

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴根據(jù)勾股定理得AC=4。

則Q從C到B經(jīng)過(guò)的路程是9，需要的時(shí)間是4.5秒，此時(shí)P運(yùn)動(dòng)的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+5﹣4.5=7.5。

根據(jù)題意得：，解得：t=7。

（2）因?yàn)辄c(diǎn)P從B到C的時(shí)間是3秒，此時(shí)點(diǎn)Q在AB上，所以分（點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CA上）和（點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在AB上）兩種情況進(jìn)行討論求得t的值。

（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，P一定在AC上，則PC的長(zhǎng)度是t﹣3，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可利用t表示出s的值，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得s最大時(shí)t的值，此時(shí)，P是AC的中點(diǎn)，直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，則PD一定是AC的中垂線。因此，連接DC（即AD的折疊線）交PQ于點(diǎn)O，過(guò)Q作QE⊥CA于點(diǎn)E，過(guò)O作OF⊥CA于點(diǎn)F，則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。應(yīng)用△CFO∽△CPD和△PFO∽△PEQ得比例式求出OF的長(zhǎng)即可求得△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。