Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）若AC與BD交于點O，求證：AO=CO．

 

Answer 1

【答案】

（1）由BF=DE，可得BE=DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可證得△ABE≌△CDF；

（2）根據全等三角形的性質可得∠ABE=∠CDF，即得∠ABE=∠CDF，從而可得AB∥CD，再結合AB=CD可證得四邊形ABCD是平行四邊形，問題得證.

【解析】

試題分析：（1）∵BF=DE，

∴BF－EF=DE－EF，即BE=CF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∵AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO．

考點：全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質

點評：全等三角形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考中極為重要的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.