【題目】如圖,在正方形ABCD中,點PAD上,且不與AD重合,BP的垂直平分線分別交CD、ABE、F兩點,垂足為Q,過EEHABH

1)求證:HF=AP

2)若正方形ABCD的邊長為12,AP=4,求線段AF的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)先根據(jù)EQBO,EHAB得出EQN=BHM=90°.根據(jù)EMQ=BMH得出EMQ∽△BMH,故QEM=HBM.由ASA定理得出APB≌△HFE,故可得出結論;

(2)由勾股定理求出BP的長,根據(jù)EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出QF=BQ的長,由(1)知,APB≌△HFE,故EF=BP=4,再根據(jù)EQ=EF-QF即可得出結論.

試題解析:(1)EQBO,EHAB,

∴∠EQN=BHM=90°

∵∠EMQ=BMH,

∴△EMQ∽△BMH,

∴∠QEM=HBM.

在RtAPB與RtHFE中,

∴△APB≌△HFE,

HF=AP;

(2)由勾股定理得,BP=

EF是BP的垂直平分線,

BQ=BP=2,

QF=BQtanFBQ=BQtanABP=2×=

由(1)知,APB≌△HFE,

EF=BP=4,

EQ=EF-QF=4-=

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