Question

已知等腰直角三角形ABC，BC是斜邊．∠B的角平分線交AC于D，過(guò)C作CE與BD垂直且交BD延長(zhǎng)線于E，
求證：BD=2CE．

Answer 1

證明：如圖，分別延長(zhǎng)CE，BA交于一點(diǎn)F．
∵BE⊥EC，
∴∠FEB=∠CEB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE，
又∵BE=BE，
∴△BFE≌△BCE （ASA）．
∴FE=CE．
∴CF=2CE．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD+∠EDC=90°．
又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．
∴△ADB≌△AFC．
∴FC=DB，
∴BD=2EC．
分析：延長(zhǎng)CE，BA交于一點(diǎn)F，由已知條件可證得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通過(guò)證明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，常用的判斷方法為：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性質(zhì)是：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．有時(shí)還需要證“兩步”全等．在證明中還要注意圖形中隱藏條件的挖掘如：本題中的公共邊BE．