Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n度后得到△EDC，此時(shí)點(diǎn)D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F．
（1）求DC的長(zhǎng)和旋轉(zhuǎn)的角度n；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DC=CB=2，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴旋轉(zhuǎn)的角度n=∠BCD=60°；

（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴AD=4-2=2，
∴AD=CD，
∴∠A=∠DCA=30°，
又∵∠EDC=∠B=60°，
∴∠CFD=180°-30°-60°=90°，
∴DF⊥AC，
∵BC=2，AB=4，
∴AC==2，
∴AF=FC=AC=，
∴DF=1，
陰影部分的面積=AF•DF=．
分析：（1）先求出∠B=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DC=BD，然后根據(jù)等邊三角形的判定得到△BCD是等邊三角形，從而可得到n=∠BCD=60°；
（2）先求出DF⊥AC，然后根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出DF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出FC的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及三角形的面積公式，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，稍微細(xì)心便不難解決．