Question

如圖，⊙O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，其中AB∥CD，連接OB交⊙O于點(diǎn)P，連接OC，OG，OE，F(xiàn)G，F(xiàn)P，下列結(jié)論：①EG為⊙O的直徑；②∠OGF=∠OCF；③若∠A=60°，則四邊形OPFG是菱形；④直線EG是以BC為直徑的外接圓的切線．其中正確的有

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①③④

Answer 1

A
分析：連接OF，根據(jù)切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理逐一判斷．
解答：解：①∵CD、AB為⊙O的切線，∴OG⊥CD，OE⊥AB，又CD∥AB，∴O、E、G三點(diǎn)共線，即EG為直徑，正確；
②連接OF，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知，CG=CF，∴∠OCF=∠OCG，
又OF=OG，∴OC垂直平分FG，
∴∠OCG+∠CGF=90°，又∠OGF+∠CGF=90°，故∠OGF=∠OCF，正確；
∴③∠A=60時(shí)，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可知∠EBF=60°，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知BO平分∠EBF，即∠OBF=30°，
又OF⊥BF，∴∠BOF=60°，故△OPF為等邊三角形，又∠EOB=∠FOB=60°，可得△OFG為等邊三角形，
∴四邊形OPFG為菱形，正確；
④如圖，過(guò)O點(diǎn)作OM∥AB交BC于點(diǎn)M，則OM為梯形BCGE的中位線，
∴BM=CM=BC，OM=（BE+CG）=（BF+CF）=BC，即BM=CM=OM，
又∵BE⊥EG，∴OM⊥EG，∴直線EG是以BC為直徑的外接圓的切線，正確．
①②③④都正確，故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，切線的判定定理，等腰梯形的性質(zhì)及梯形中位線定理．具有一定的綜合性，解題時(shí)，要根據(jù)要根據(jù)每個(gè)結(jié)論的要求，合理地選擇所需要的性質(zhì)或判斷．