Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）以斜邊BC上距離C點2cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，并且DF交AC于點N，交BC于點Q，EF交AC于點M，則PQ的長為多少cm？
（2）在（1）的條件下，求旋轉(zhuǎn)后△DEF與△ABC重疊部分的面積S；
（3）以斜邊BC上距離C點xcm的點P為中心（P不是B、C），把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，設△DEF與△ABC重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵以斜邊BC上距離C點2cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，
∴PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴PQ=1.5；

（2）∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴BC=5，PC=2，S_△ABC=6，
∵S_△PMC：S_△ABC=1：4，即S_△PMC=，
∴PM=PQ=，
∴QC=，
∴S_△NQC：S_△ABC=QC²：BC²=（）²：5²，
∴S_△NQC=，
∴S_{四邊形NQPM}=S_△NQC-S_△PMC=1.44cm²．

（3）點P從C點逐漸向B移動時，有三種情況，它是由BC上的三段組成的P點的三個取值范圍，
見圖所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上這三段．其中的P₁、P₂是兩個特殊的位置：P₁的位置是FD與AB有部分重合；P₂的位置是FE過A點．下面先求出CP₁的長．
對于圖2中的P₁位置，即是下圖1中，當AN=0時的情況．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，
MN=x，∴NC=NM+MC=x+x=x，
從而AN=AC-NC=4-x，
由AN=0，解得x=；
對于圖2中點P₂的位置，容易求得P₂C=．
①當P在CP₁間，即0＜x≤時，
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM
=PC•MP-FN•NM
=x•x-×x•x=x²，
②當P在P₁P₂間，即＜x≤時，y=S_△ABC-S_△CPM=6-•x•x=6-x²；
③當P在P₂B間，即＜x＜5時，y=S_△MPB=•（5-x）•（5-x）=（5-x）²．
故：當0＜x≤時，y=x²；
當＜x≤時，y=6-x²；
當＜x＜5時，y=（5-x）²．

分析：（1）根據(jù)以斜邊BC上距離C點2cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，可以得出PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，即可求出答案；
（2）根據(jù)△PMC∽△ABC，相似比PC：AC=2：4=1：2，可求S_△PMC；已知PC、S_△PMC，可求PM，從而可得PQ，CQ，再由△NQC∽△ABC，相似比為CQ：CB，利用面積比等于相似比的平方求S_△NQC，用S_{四邊形NQPM}=S_△NQC-S_△PMC求面積．
（3）點P從C點逐漸向B移動時，有三種情況，它是由BC上的三段組成的P點的三個取值范圍，如圖所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上這三段．其中的P₁、P₂是兩個特殊的位置：P₁的位置是FD與AB有部分重合；P₂的位置是FE過A點．首先求出CP₁的長．對于圖2中的P₁位置，即是下圖1中，當AN=0時的情況．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，MN=x，所以NC=NM+MC=x，從而AN=AC-NC=4-x，由AN=0求出x=；對于圖2中點P₂的位置，容易求得P₂C=，
①當P在CP₁間，即0＜x≤時，可以求出函數(shù)解析式；
②當P在P₁P₂間，即＜x≤時，由y=S_△ABC-S_△CPM可以求出函數(shù)解析式；
③當P在P₂B間，即＜x＜5時，求出函數(shù)解析式．
點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．據(jù)此得判斷出相等的對應角，得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解答．