Question

如圖，△OAB，△OBC，△OCD，△ODE都是等腰直角三角形，且∠BAO，∠OBC，∠OCD，∠ODE都是直角，設(shè)OA=1
（1）BC=

 

，CD=

 

，DE=

 

；
（2）連續(xù)做n個等腰直角三角形，則第n個等腰直角三角形斜邊長為

 

；
（3）連接AC，CE，請判斷△ABC與△CDE是否相似，并說明理由；
（4）按內(nèi)角分，△ACE是哪種類型的三角形？

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理可以求出BC，CD，DE的長；
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)即可看出規(guī)律：第一個是

2

，第二個是；

22

，第三個是

23

，由此可知，第n個等腰直角三角形斜邊長為

2n

；
（3）首先求出∠CDB=∠ABC=135°，再求出

AB

CD

=

CB

DE

=

1

2

，即可證出結(jié)論；
（4）首先根據(jù)相似求出∠2=∠3，再求出∠1+∠3的度數(shù)，即可判定△ACE是直角三角形．

解答：解：（1）BC=BO=

AB2+AO2

=

2

，CD=CO=

CB2+BO2

=2，DE=DO=

DC2+CO2

=2

2

；

（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)即可看出規(guī)律：第n個等腰直角三角形斜邊長為

2n

；

（3）相似，
∵△OAB，△OBC，△OCD，△ODE都是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠CDO=45°，∠CBO=ODE=90°，
∴∠CDB=∠ABC=135°，
∵AB=1，CD=2，CB=

2

，DE=2

2

，
∴

AB

CD

=

CB

DE

=

1

2

，
∴△ABC∽△CDE；

（4）△ACE是直角三角形，
∵△ABC∽△CDE；
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠2=180°-∠ABC=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵∠BCD=∠DCO+∠BCO=90°+45°=135°，
∴∠ACE=90°，
故△ACE是直角三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，及相似三角形的判定方法，此題是一個綜合型題目，難度不大，較好．