Question

如圖，在?ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，連接AF且∠AFE=∠B．又知AB=2，BC=3，AF=1.5．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）求DE的長．

Answer 1

（1）證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠ADF=∠CED．
∵∠B與∠C互補(bǔ)，∠AFE與∠AFD互補(bǔ)，而∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF和△DEC中，
∵∠ADF=∠CED，∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵△ADF∽△DEC，
∴=．
∵AB=DC，AB=2，
∴DC=2．
∵BC=AD，BC=3，
∴AD=3．已知AF=1.5代入上式解得DE=4．
分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行線的內(nèi)錯角），而∠AFD和∠C是等角的補(bǔ)角，由此可判定兩個三角形相似；
（2）由（1）可知△ADF∽△DEC，利用相似的性質(zhì)可得=，已知AF=1.5代入上式解得DE=4．
點(diǎn)評：此題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記判定三角形相似的各種方法和各種性質(zhì)．