Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2-5ax+2（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于點A（1，0）和點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線BC的解析式；

（3）若點N是拋物線上的動點，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點的三角形是否能夠與△OBC相似（排除全等的情況）？若能，請求出所有符合條件的點N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x+2；（2）直線BC的解析式y(tǒng)=-x+2；（3）N點的坐標(biāo)為（5，2）、（2，-1）或（-3，14）．

【解析】

試題分析：（1）把點A坐標(biāo)代入拋物線y=ax2-5ax+2（a≠0）求得拋物線的解析式即可；

（2）求出拋物線的對稱軸，再求得點B、C坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，再把B、C兩點坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，求得k和b即可；

（3）設(shè)N（x，ax2-5ax+2），分兩種情況討論：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根據(jù)相似，得出比例式，再分別求得點N坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵點A（1，0）在拋物線y=ax2-5ax+2（a≠0）上，

∴a-5a+2=0，

∴a=，

∴拋物線的解析式為y=x2-x+2；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=，

∴點B（4，0），C（0，2），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∴把B、C兩點坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，得

，

解得k=-，b=2，

∴直線BC的解析式y(tǒng)=-x+2；

（3）設(shè)N（x，x2-x+2），分三種情況討論：

①當(dāng)△OBC∽△HNB時，如圖1，

，

即，

解得x1=5，x2=4（不合題意，舍去），

∴點N坐標(biāo)（5，2）；

②當(dāng)△OBC∽△HBN時，如圖2，

，

即，

解得x1=2，x2=4（不合題意舍去），

∴點N坐標(biāo)（2，-1）；

③當(dāng)N（x，x2-x+2）在第二象限時，

H（x，0）在x軸的負半軸上，

∴BH=4-x，

∵△OBC∽△HNB，

∴，

即，

得到x2-x-12=0

解得x1=4（舍去）；x2=-3，

∴N點的坐標(biāo)為（-3，14）

綜上所述，N點的坐標(biāo)為（5，2）、（2，-1）或（-3，14）,使得以點B、N、H為頂點的三角形與△OBC相似．