Question

設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA．
試證：（1）AD，BE，CF三條對(duì)角線交于一點(diǎn)；
（2）AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF．

Answer 1

分析：連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是△ACE的三條內(nèi)角平分線，I為△ACE的內(nèi)心．再由△BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心．再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明結(jié)論．

解答：證明：（1）連接AC，CE，EA，
由已知可證AD，CF，EB是△ACE的三條內(nèi)角平分線，I為△ACE的內(nèi)心．
從而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC．
再由△BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，
I就是一點(diǎn)兩心，即AD，BE，CF三條對(duì)角線交于一點(diǎn)；

（2）利用不等式有：BI+DI+FI≥2•（IP+IQ+IS）．
不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS．
∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC．
∴AB+BC+CD+DE+EF+FA，
=2（BI+DI+FI），
≥（IA+IE+IC）+（BI+DI+FI），
=AK+BE+CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的五心的知識(shí)，通過(guò)證明I是一點(diǎn)兩心是解題的關(guān)鍵，有一定的難度．