Question

在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．動(dòng)點(diǎn)M、N分別在兩腰AB、AC上(M不與A、B重合，N不與A、C重合)，且MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P．

(1)當(dāng)MN為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上？

(2)當(dāng)MN＝x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，試寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)首先連接AP，交MN于O，由MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，即可得△AMN∽△ABC，＝＝，則可求得當(dāng)MN為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上； 　　(2)此題需要分為當(dāng)AO≤AD時(shí)與當(dāng)AO＞AD時(shí)去分析，首先由△AMN∽△ABC，求得各線段的長(zhǎng)，然后求△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積，即可得關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法，即可求得答案． 　　解答：解：(1)連接AP，交MN于O， 　　∵將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P， 　　∴OA＝OP，AP⊥MN，AN＝PN，AM＝PM， 　　∵M(jìn)N∥BC， 　　∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN， 　　∴＝＝， 　　∵BC＝6， 　　∴MN＝3， 　　∴當(dāng)MN＝3時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上； 　　(3)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交MN于O， 　　∵M(jìn)N∥BC， 　　∴AO⊥MN， 　　∴△AMN∽△ABC， 　　∴＝， 　　∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC， 　　∴∠ADB＝90°，BD＝BC＝3， 　　∴AD＝4， 　　∴＝， 　　∴AO＝x， 　　∴S△AMN＝MN·AO＝·x·x＝x2， 　　當(dāng)AO≤AD時(shí)， 　　根據(jù)題意得：S△PMN＝S△AMN， 　　∴△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為S△AMN， 　　∴y＝x2， 　　∴當(dāng)AO＝AD時(shí)，即MN＝BC＝3時(shí)，y最小，最小值為3； 　　當(dāng)AO＞AD時(shí)， 　　連接AP交MN于O， 　　則AO⊥MN， 　　∵M(jìn)N∥BC， 　　∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN， 　　∴＝，＝， 　　即：＝，＝， 　　∴AO＝x， 　　∴＝， 　　∴EF＝2x－6，OD＝AD－AO＝4－x， 　　∴y＝S梯形MNFE＝(EF＋MN)·OD＝×(2x－6＋x)×(4－x)＝－(x－4)2＋4， 　　∴當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值，最大值為4， 　　綜上所述：當(dāng)x＝4時(shí)，y的值最大，最大值是4． 　　點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

提示：

考點(diǎn)：翻折變換(折疊問(wèn)題)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．