Question

“百誠(chéng)”公司投資750萬(wàn)元，成功研制出一種市場(chǎng)需求量較大的產(chǎn)品，并再投入資金1750萬(wàn)元進(jìn)行相關(guān)生產(chǎn)設(shè)備的購(gòu)買(mǎi)．已知生產(chǎn)過(guò)程中，每件產(chǎn)品的成本為60元．在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為120元時(shí)，年銷(xiāo)售量為24萬(wàn)件；銷(xiāo)售單價(jià)每增加10元，年銷(xiāo)售量將減少1萬(wàn)件．設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x（元）（x＞120），年銷(xiāo)售量為y（萬(wàn)件），第一年年獲利（年獲利=年銷(xiāo)售額-生產(chǎn)成本-投資）為z（萬(wàn)元）．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間，z與x之間的函數(shù)關(guān)系式：

 

，

 

；
（2）計(jì)算銷(xiāo)售單價(jià)為200元時(shí)的第一年年獲利，請(qǐng)問(wèn)公司此時(shí)虧損還是盈利？并說(shuō)明為了得到同樣的年獲利，銷(xiāo)售單價(jià)還可以定為多少元？
（3）公司計(jì)劃：在第一年按年獲利最大時(shí)確定的銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行銷(xiāo)售；第二年后總獲利要不低于1840萬(wàn)元．請(qǐng)說(shuō)明，第二年的銷(xiāo)售單價(jià)x應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)．

Answer 1

分析：（1）由題意根據(jù)單價(jià)之間的關(guān)系，銷(xiāo)售單價(jià)每增加10元，年銷(xiāo)售量將減少1萬(wàn)件，年獲利=年銷(xiāo)售額-生產(chǎn)成本-投資，列出y與x，z與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）把x=200代入函數(shù)式求出z；（3）在第一年按年獲利最大時(shí)確定的銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行銷(xiāo)售，根據(jù)z與x的關(guān)系式，配方求出最值；第二年后總獲利要不低于1840萬(wàn)元，令z≤1840解出x值的范圍．

解答：解：由題意得：
（1）y=24-

x-120

10

，即：y=-

1

10

x+36，
z=-

1

10

x2+42x-4660；
（2）當(dāng)x取200時(shí)，z=-

1

10

×2002+42×200-4660=-260
此時(shí)公司虧損了260萬(wàn)元
因?yàn)榇藪佄锞�(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=210
所以當(dāng)x=220時(shí)，也能獲得同樣的年獲利
（3）z=-

1

10

(x-210)2-250
∴當(dāng)x=210時(shí)，z取最大值，最大值為-250，
也就是說(shuō)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為210元時(shí)，年獲利最大，并且到第一年年底公司還差250萬(wàn)元就可收回全部投資
第二年的銷(xiāo)售單價(jià)定為x元，
則年獲利為z=(-

1

10

x+36)(x-60)
=-

1

10

x2+42x-2160=-

1

10

(x-210)2+2250，
當(dāng)z年獲利為1840萬(wàn)時(shí)，
即z=1840+250=2090，
所以令2090=-

1

10

(x-210)2+2250，
解得x₁=170，x₂=250，
當(dāng)170≤x≤250時(shí)，z≥2090，
∴第二年的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)確定在不低于170元且不高于250元的范圍內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，從而來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，看似復(fù)雜其實(shí)比較簡(jiǎn)單．