Question

如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線并相交于點O．
（1）若∠ABC=60°，∠C=70°，∠DAE和∠BOA的度數(shù)；
（2）若∠ABC=α，∠C=β（α＜β），請用含有α、β的代表式表示∠DAE=______．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=60°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=20°，
∵AE、BF是角平分線，
∴∠EAC=∠BAE=∠BAC=25°，∠ABF=∠ABC=30°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°；
∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-30°=125°；

（2）∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-α-β，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-β，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=∠BAC=（180°-α-β），
∴∠DAE=（180°-α-β）-（90°-β）=（β-α）．
故答案為（β-α）．
分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC=50°，由AD是高得到∠ADC=90°，則可計算出∠DAC=20°，再根據(jù)角平分線定義得到∠EAC=∠BAE=∠BAC=25°，∠ABF=∠ABC=30°，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO進行計算即可；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-α-β，由AD是高得到∠ADC=90°，則∠DAC=90°-β，根據(jù)角平分線定義得∠EAC=∠BAC=（180°-α-β），所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=（180°-α-β）-（90°-β），然后整理即可．
點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．