解:(1)∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC=5.
∵⊙A與⊙B外切于點D,并分別與BC、AC邊交于點E、F,
∴AD=AF,BD=BE,
∴AF+AB+BE=2AB=6,
∴CE+CF=(AB+BC+CA)-(AF+AB+BE)=6.
∵EC=x,F(xiàn)C=y,
∴x+y=6,
∴y=6-x,2<x<5.
(2)如果△FEC∽△ABC,那么FC:AC=EC:BC,
∴(6-x):4=x:5,
∴x=
,
∴AD:BD=
:
=4:5;
如果△EFC∽△ABC,那么EC:AC=FC:BC,
∴x:4=(6-x):5,
∴x=
,
∴AD:BD=
:
=2:7.
(3)若⊙C與⊙A、⊙B都相切,∴有兩種情況:
①⊙C與⊙A、⊙B都外切(如圖一),
∵CE、CF為⊙C的兩條半徑,
∴CE=CF,
設(shè)CE=x,CF=6-x,
∴x=6-x,∴x=3,
∴AD:BD=1:2;
②⊙C與⊙A、⊙B都內(nèi)切(如圖二),
則CA+AF=CB+BE,
∵CA=4,AF=AC-CF=4-6+x=x-2,
CB=5,BE=BC-CE=5-x,
∴4+(x-2)=5+(5-x),
∴x=4,
∴AD:BD=2:1.
分析:(1)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,得到BC=5.根據(jù)⊙A與⊙B外切于點D,并分別與BC、AC邊交于點E、F,得到AF+AB+BE=2AB=6,從而CE+CF=(AB+BC+CA)-(AF+AB+BE)=6.然后用x表示出y即可;
(2)利用△FEC∽△ABC,得到FC:AC=EC:BC和利用△EFC∽△ABC得到EC:AC=FC:BC,分別表示出比例式的各項即可求得兩線段的比值;
(3)如果⊙C與⊙A、⊙B都相切,分⊙C與⊙A、⊙B都外切(如圖一)和⊙C與⊙A、⊙B都內(nèi)切(如圖二)兩種情況討論求得AD與BD的值.
點評:本題考查了相切兩圓的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì),題目中很好的滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.