Question

如圖，已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點A、B，點M是線段AB（中點除外）上的動點，以點M為圓心，OM的長為半徑作圓，與x軸、y軸分別相交于點C、D．

（1）設點M的橫坐標為a，則點C的坐標為______，點D的坐標為______（用含有a的代數(shù)式表示）；
（2）求證：AC=BD；
（3）若過點D作直線AB的垂線，垂足為E．
①求證：AB=2ME；
②是否存在點M，使得AM=BE？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）C（2a，0），D（0，2a+8）；

（2）方法一：由題意得：A（-4，0），B（0，4），
-4＜a＜0，且a≠2，
①當2a+8＜4，即-4＜a＜-2時，
AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，
∴AC=BD；
②當2a+8＞4，即-2＜a＜0時，
同理可證：AC=BD，
綜上：AC=BD；

方法二：①當點D在B、O之間時，

連CD，
∵∠COD=90°
∴圓心M在CD上
過點D作DF∥AB
∵點M為CD中點
∴MA為△CDF中位線
∴AC=AF
又DF∥AB
∴
而BO=AO
∴AF=BD
∴AC=BD；
②點D在點B上方時，同理可證：AC=BD；
綜上：AC=BD；

（3）方法一：
①A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），△BDE、△ABO均為等腰直角三角形，
E的縱坐標為a+6，∴ME=（y_E-y_M）=[a+6-（a+4）]=2
AB=4
∴AB=2ME；
②AM=（y_M-y_A）=（a+4），BE=|y_E-y_B|=|a+2|，
∵AM=BE，
又-4＜a＜0，且a≠2，
①當-4＜a＜-2時，（a+4）=-（a+2）
∴a=-3，∴M（-3，1）；
②當-2＜a＜0時，（a+4）=（a+2）
∴a不存在；

方法二：
①當點D在B、O之間時，作MP⊥x軸于點P、MQ⊥y軸于點Q，取AB中點N，
在Rt△MNO與Rt△DEM中，MO=MD
∠MON=45°-∠MOP
∠EMD=45°-∠DMQ=45°-∠OMQ=45°-∠MOP
∴∠MON=∠EMD
∴Rt△MNO≌Rt△DEM
∴MN=ED=EB
∴AB=2NB=2（NE+EB）=2（NE+MN）=2ME
當點D在點B上方時，同理可證；
②當點D在B、O之間時，
由①得MN=EB
∴AM=NE
若AM=BE，則AM=MN=NE=EB=AB=
∴M（-3，1）
點D在點B上方時，不存在．
注：（2）、（3）兩問凡需要討論而沒有討論的，每漏討論一次扣．
分析：（1）直接利用垂徑定理可知C（2a，0），D（0，2a+8）；
（2）本題可用直角坐標系中兩點間的距離公式分別求算出AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，所以AC=BD；
（3）①根據(jù)A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），可知△BDE、△ABO均為等腰直角三角形，E的縱坐標為a+6，可求得ME=（y_E-y_M）=[a+6-（a+4）]=2，AB=4，所以AB=2ME；
②因為AM=（y_M-y_A）=（a+4），BE=|y_E-y_B|=|a+2|，AM=BE，結(jié)合條件-4＜a＜0，且a≠2，a=-3可知M（-3，1）；當-2＜a＜0時，a不存在．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．