Question

已知，如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；
（2）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)CD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由BC為直徑得到∠BDC=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD；
（2）連結(jié)OD，先得到OD為△ABC的中位線，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得OD∥AC，而DE⊥AC，則DE⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理可得DE為⊙O的切線．

解答：（1）證明：連結(jié)CD，如圖，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；
（2）解：DE與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，
∵AD=BD，OC=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE為⊙O的切線．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．