如圖所示,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)P在⊙O上,且∠PBC=∠C.
(1)求證:CB∥PD;
(2)若BC等于3,sinP=,求⊙O的直徑;
(3)連接OC,取其中點(diǎn)M,連接AM并延長交于F,連接DF,求證:DF平分弦BC.

【答案】分析:(1)根據(jù)圓周角定理得到∠D=∠PBC,而∠PBC=∠C,則∠D=∠C,然后根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)連AC,根據(jù)垂徑定理及圓周角定理得到∠P=∠A,∠ACB=90°,則sinA=sinP=,然后根據(jù)正弦的定義得到=,而BC=3,易得AB=5;
(3)連接BD,DF交BC于點(diǎn)N,由直徑AB⊥CD,根據(jù)垂徑定理得弧BC=弧BD,弧AC=弧AD,則BC=BD,∠ABC=∠ABD,根據(jù)圓周角定理有∠AOC=2∠ABC,則∠AOC=∠DBC,又∠A=∠BDF,根據(jù)相似三角形的判定可得△AOM∽△DNB,則OA:BD=OM:BN,即BD:BN=OA:OM,而點(diǎn)M為OC的中點(diǎn),則OA=2OM,于是有BD=2BN,即可得到BC=2BN,BN=CN,即DF平分弦BC.
解答:(1)證明:∵∠D=∠PBC,∠PBC=∠C,
∴∠D=∠C,
∴CB∥PD;

(2)解:連接AC,如圖,
∵AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,
=,
∴∠P=∠A,
∴sinA=sinP=,
又∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∴sinA==
而BC=3,
∴AB=5,
即⊙O的直徑為5;

(3)連接BD,DF交BC于點(diǎn)N,如圖,
∵直徑AB⊥CD,
∴弧BC=弧BD,弧AC=弧AD,
∴BC=BD,∠ABC=∠ABD,
∵∠AOC=2∠ABC,
∴∠AOC=∠DBC,
又∵∠A=∠BDF,
∴△AOM∽△DBN,
∴OA:BD=OM:BN,即BD:BN=OA:OM,
而點(diǎn)M為OC的中點(diǎn),
∴OA=2OM,
∴BD=2BN,
∴BC=2BN,
∴BN=CN,即DF平分弦BC.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題:在同圓或等圓中,相等的弧所對(duì)的圓周角相等,直徑所對(duì)的圓周角為直角;垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的。贿\(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)證明線段之間的關(guān)系;運(yùn)用正弦的定義進(jìn)行幾何計(jì)算.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示,AB是⊙O的直徑,AD是弦,∠DBC=∠A.
(1)求證:BC與⊙O相切;
(2)若OC∥AD,OC交BD于點(diǎn)E,BD=6,CE=4,求AD的長.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,AB是⊙O的直徑,AD是弦,∠DBC=∠A,OC⊥BD于點(diǎn)E.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若BD=12,EC=10,求AD的長.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)P,CD=10cm,AP:PB=1:5,則⊙O的半徑為
 
cm.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,AB是⊙O直徑,OD⊥弦BC于點(diǎn)F,且交⊙O于點(diǎn)E,且∠AEC=∠ODB.
(1)判斷直線BD和⊙O的位置關(guān)系,并給出證明;
(2)當(dāng)AB=10,BC=8時(shí),求△DFB的面積.

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如圖所示,AB是⊙O直徑,∠D=35°,則∠BOC等于( 。

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