Question

已知：如圖，Rt△ABC，∠ABC=90°，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC切于D，且AD=2，AE=1．
求：（1）圓O直徑的長；
（2）BC的長；
（3）sin∠DBA的值．

Answer 1

解：（1）∵AD是圓O的切線，AB是圓O的割線
∴AD²=AE（AE+EB）
即4=1•（1+BE）
∴BE=3，即圓O的直徑長；

（2）∵OB是圓O的半徑，且∠ABC=90°，
∴BC是圓O的切線
∵CD是圓O的切線
∴DC=BC設(shè)BC=x
Rt△ABC中，x²+4²=（2+x）²
解之，得x=3即BC=3；

（3）連接DE，可證△ADE∽△ABD，
∴===，
在Rt△EDB中，設(shè)DE=k，BD=2k，
由勾股定理，得BE=k，
∴sin∠DBA===．
分析：（1）已知AD=2，AE=1，根據(jù)切割線長定理求BE即可；
（2）由切線長定理可知BC=CD，根據(jù)已知條件，在Rt△ABC中，運用勾股定理求解；
（3）利用△ADE∽△ABD，得出=，DE=k，BD=2k，由勾股定理，得BE=k，在Rt△EDB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求解．
點評：求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．