Question

【題目】如圖1，拋物線，其中，點A（-2，m）在該拋物線上，過點A作直線l∥x軸，與拋物線交于另一點B，與y軸交于點C.

（1）求m的值.

（2）當a=2時，求點B的坐標.

（3）如圖2，以OB為對角線作菱形OPBQ，頂點P在直線l上，頂點Q在x軸上.

①若PB=2AP，求a的值.

②菱形OPBQ的面積的最小值是 .

Answer 1

【答案】（1）當x=-2時，y=4a-4（a-1）=4（2）點B的坐標為（1,4）（3）① ②菱形的最小面積=16

【解析】（1）把x=-2代入拋物線即可得到y(tǒng)的值；（2）先求出拋物線表達式，然后求出x的解；（3）利用拋物線的對稱軸即可求出點B的坐標和a的值以及菱形OPBQ的面積的最小值.

解：（1）當x=-2時，

（2）當a=2時，拋物線表達式為

當y=4時，，

解得

把-2舍去，點B的坐標為（1,4）

（3）①當點P在線段AB上時，設CP=x，則AP=2+x,BP=OP=4+2x

在Rt△OCP中，，

解得

∴CP=0，CB=PB=4，點B的坐標是（4,4）

由題可知拋物線的對稱軸：直線

又由點A與點B關于對稱軸對稱，則，解得

當點P在射線BA上時，設CP=x，則AP=x-2,BP=OP=2x-4

在Rt△OCP中， ，解得（舍去），，

∴CP=，PB=，CB=點B的坐標是（,4）

由點A與點B關于對稱軸對稱，則，解得

②菱形的最小面積=16

“點睛”本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)性質等知識，解題的關鍵是由點A與點B關于對稱軸對稱求出a的值，會運用方程的思想解決問題，屬于中考�？碱}型．