Question

已知直線l₁∥l₂，直線l₃，l₄分別與l₁，l₂交于點(diǎn)B，F(xiàn)和A，E，點(diǎn)P是直線l₃上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，F(xiàn)重合），設(shè)∠BAP=∠1，∠PEF=∠2，∠APE=∠3．
（1）如上圖，當(dāng)點(diǎn)P在B，F(xiàn)兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，試確定∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系，并給出證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在B，F(xiàn)兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系，畫(huà)出圖形，給出結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PC∥l₁，交AE于點(diǎn)C，由直線l₁∥l₂，可得CP∥l₁∥l₂，然后由兩直線平行，同位角相等，求得答案；
（2）有兩種情況；①當(dāng)點(diǎn)P在BF的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如下圖2），∠3+∠2=∠1．②當(dāng)點(diǎn)P在FB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如下圖3），∠3+∠1=∠2．

解答：解：（1）∠1+∠2=∠3．
證明：過(guò)點(diǎn)P作PC∥l₁，交AE于點(diǎn)C，
則∠1=∠APC，∠α=∠β，
∵l₁∥l₂，
∴∠α=∠γ，
∴∠β=∠γ，
∵CP∥EF，
∴∠2=∠CPE，
∴∠1+∠2=∠APC+∠CPE=∠APE，
即∠1+∠2=∠3；

（2）有兩種情況；
①當(dāng)點(diǎn)P在BF的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），∠3+∠2=∠1．
證明：過(guò)點(diǎn)P作CP∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴CP∥l₁∥l₂，
∴∠APC=∠1，∠EPC=∠2，
∴∠3=∠ACP-∠ECP=∠1-∠2，
∴∠3+∠2=∠1．
②當(dāng)點(diǎn)P在FB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖3），∠3+∠1=∠2．
同理可得：∠3+∠1=∠2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．